Wie man integralen Volumen eines Hyper Leiten

Nur ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer zweidimensionalen Ebene in gleichem Abstand von einem zentralen Punkt und eine Kugel ist die Menge aller Punkte in drei Dimensionen im gleichen Abstand von einer zentralen Stelle in der Mathematik Es existieren analoge Strukturen , genannt Hypersphären , in dreidimensionalen Räumen größer als drei ist , daß die Menge aller Punkte in gleichem Abstand von einem zentralen Punkt befinden. Folglich , so wie die das Integral Volumen einer Kugel in drei Dimensionen mit Kalkül abgeleitet werden kann, so können die integralen Volumina dieser höher -dimensionalen Figuren. Anleitung
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das Koordinatensystem , in dem Problem definieren verwendet werden . Obwohl jede Koordinatensystem kann die Arbeit gemacht werden , eine Veränderung auf Kugelkoordinaten am besten funktioniert. Als ein Beispiel , in einem n- dimensionalen Raum definieren , wenn der Abstand r zum Mittelpunkt , theta als Azimutwinkel und phi1 , phi2 , ... phi ( n -2) als Winkelkoordinaten von 0 bis pi Radianten .
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schreiben Sie die Grundlautstärke Integral über die gesamte Hypersphäre . Dies wird das Integral von 0 bis zu einem gewissen Radius R R ist, und über die Gesamtheit der möglichen Winkeln für jede Winkelkoordinaten, 0 für 0 Theta und für die verbleibenden Variablen 2PI pi . Die mehrfachen Integrale von 1 über das Volumenelementübernommen.
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mit den entsprechenden Begriffen aus der Jacobi- Determinante berechnet Ersetzen Sie das Volumenelement . Zum Beispiel für eine Hypersphäre in vier Dimensionen , wird es : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dTHETA

Für weitere Hilfe die Berechnung der Jacobi- finden Sie in der entsprechenden Ressourcen Link.
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Notieren Sie sich die endgültige Antwort nach der Einnahme jedes Integral in Folge. In unserem Beispiel von der vierdimensionalen Hyper die endgültige Antwort ist : .

(Pi ^ 2/2) * Radius ^ 4